مقالات و پایان نامه ها

ریاضیات فازی

2.4. ریاضیات فازی

از آنجایی که این تحقیق در محیط فازی انجام می شود نیاز است که در اینجا به مختصر بعضی تعاریف و فرمول های مجموعه های فازی را بیاوریم:

مسائل دنیای واقعی معمولاًَ ساختار پیچیده ای دارند که به دلیل وجود ابهام و عدم قطعیت در تعریف و درک آنها است. از زمانی که انسان توانست فکر کند همواره با ابهام در مسائل مختلف اجتماعی، تکنیکی و اقتصادی مواجه بوده است. حتی اختراع کامپیوتر و توسعه کاربری آن در تحلیل مسائل دنیای واقعی نیز نتوانست مشکل ابهام و عدم قطعیت را حل نماید.

در بیان و تحلیل کامل یک مسئله نیاز به اطلاعات دقیق و کافی است، حال اگر به دلایل مختلف اطلاعات کافی و دقیق در دسترس نباشد چه باید کرد؟ پاسخ این سوال بهره گیری از ظرفیت استدلال تقریبی انسان است. قابلیتی که کامپیوتر از آن بی بهره است. انسان علیرغم اطلاعات نادقیق و ناکافی در مواجهه با مسائل پیچیده دنیای واقعی، رفتار و ماهیت سیستم را به طور تقریبی درک و تحلیل می نماید. حال سوال اصلی این است: آیا راهی وجود دارد که کامپیوتر نیز همانند انسان بتواند به طور تقریبی مسائل را با اطلاعات نادقیق و ناکافی درک و تحلیل نماید؟

برای پاسخ به این سوال، به اصل ناسازگاری پروفسور لطفی زاده که در سال 1973 مطرح گردید توجه نمایید: هرچه میزان آگاهی از یک سیستم افزایش یابد پیچدگی سیستم کاهش یافته و دقت درک و تحلیل سیستم افزایش می یابد. زمانی که پیچدگی سیستم کاهش یابد، دقت روش مدل سازی افزایش یافته و لذا ابزار مفیدی برای تحلیل سیستم مهیا می شود.(شوندی، 1385)

برای سیستم هایی  با پیچیدگی بالا و عدم قطعیت زیاد که اطلاعات کافی و دقیقی نیز در دسترس نیست رویکرد استدلال تقریبی فازی مطرح می شود که به سیستم های فازی معروف هستند. ورودی سیستم های فازی می توانند اطلاعات نادقیق باشند و پردازش های سیستم نیز با بهره گیری از استدلال تقریبی و به طور فازی انجام می شوند.

پروفسور لطفی زاده در سال 1965 برای اولین بار با معرفی نظریه مجموعه های فازی مقدمات مدل سازی اطلاعات نادقیق و استدلال تقریبی با معادله های ریاضی را فراهم نمود که در نوع خود تحولی عظیم در ریاضیات و منطق کلاسیک بوجود آورد. ایده نظریه مجموعه های فازی با این عبارت توسط پروفسور لطفی زاده مطرح شد: «ما نیازمند یک نوع دیگری از ریاضیات هستیم تا بتوانیم ابهامات و عدم دقت رویدادها را مدل سازی نماییم، مدلی که متفاوت از نظریه احتمالات است». لذا نظریه فازی برای بیان و تشریح عدم قطعیت و عدم دقت در رویدادها به کار می رود که بر اساس منطق چند ارزشی بوجود آمده است. انسان برای بیان ابهام و عدم دقت در رویدادهای روزمره از کلام های مختلفی که عموماً با “تقریباً” و “حدوداً” همراه است استفاده می کند. نظریه احتمال یکی از روش های سنتی برای بیان عدم قطعیت با مدل ریاضی است. ماهیت عدم قطعیت با توجه به مسئله مورد بررسی می بایست توسط تحلیل گر مشخص شود. زیرا عدم اطمینان می تواند ناشی از “شانس”، “ابهام”، “کمبود دانش” یا “از عدم دقت” باشد. نظریه احتمال برای پیش بینی نتیجه یک رویداد تصادفی در آینده به کار می رود. رویدادی که در آینده قرار است اتفاق بیفتد و نتیجه ی آن در حال حاضر مشخص نیست. این در حالی است که فازی به “بی دقتی” و مفاهیم نادقیق که در زبان طبیعی به کار می روند مرتبط است و همیشه با یک رویداد همراه نیست. در واقع، نظریه فازی، عدم قطعیت غیر تصادفی را پشتیبانی می کند. این مفهوم در شکل (3-2) به تصویر کشیده شده است. (شوندی، 1385)

عدم قطعیت
تصادفی
فازی، نادقیق و مبهم
قطعی

 

 

 

 

 

 

شکل 3-2، عدم قطعیت و مفاهیم فازی و تصادفی

2.4.1 مجموعه فازی

شامل مجموعه های فازی و عملیات ریاضی مرتبط با آنها است. در مجموعه های کلاسیک، حد و مرز مجموعه به طور دقیق و قطعی تعریف می شود و در نتیجه عضویت عناصر در مجموعه نیز به طور قطعی مشخص می شود. در مجموعه های کلاسیک، یک عنصر یا قطعاً عضو مجموعه است یا قطعاً عضو مجموعه نیست. لذا فرض اساسی در مجموعه های کلاسیک، تعریف دقیق حد و مرز مجموعه است و عضویت عناصر در مجموعه نیز  دو حالت بیشتر ندارد. یک عنصر یا عضوی از مجموعه است یا نیست. اما موارد بسیاری در عمل وجود دارد که تعریف حد و مرز دقیق و قطعی برای مجموعه امکان پذیر نیست. لذا نیاز به مجموعه ای داریم که محدوده آن منعطف و به تقریبی (نادقیق) تعریف شود. به این نوع مجموعه، مجموعه فازی گفته می شود. عضویت عناصر در مجموعه های فازی نیز با درجه عضویت که عددی بین صفر و یک است، بیان می شود. (وانگ، 2007).

2.4.2 نمایش یک مجموعه فازی

اگر X مجموعه ای از عناصر باشد، که با x نشان داده می شود، آنگاه مجموعه فازی Ã در X، مجموعه زوج های مرتب به شرح ذیل است:

Ã= {(x, µÃ(x))| x є X}

تابع عضویت یا درجه عضویت x در  Ã است. تابع عضویت، مجموعه X را یه فضای M تصویر می کند. اگر فضای تابع عضویت (M) تنها شامل اعداد صفر و یک آنگاه مجموعه مورد نظر، یک مجموعه کلاسیک خواهد بود و اگر M شامل اعداد حقیقی بین صفر تا یک باشد آنگاه مجموعه مورد نظر، یک مجموعه فازی بود.

µÃ : X  → [0 , 1]

µÃ(x)
a
0
b
X

برای بیان اینکه یک مجموعه مورد نظر، مجموعه فازی است از علامت (~) استفاده می شود؛ یعنی A بیانگر یک مجموعه کلاسیک و Ã بیانگر یک مجموعه فازی است. بر اساس آنچه در شکل (4-2) می بینیم، درجه عضویت هر x ЄX در مجموعه فازی Ã در بازه (a , b) بزرگتر از صفر و خارج از بازه برابر صفر است. (آذر، 87).

 

1

 

 

 

شکل 4-2 نمایش یک مجموعه فازی

 

 

2.4.3. سیستم های فازی

سیستم هایی هستند که اطلاعات ورودی آنها می تواند به صورت نادقیق باشد. یعنی اطلاعات ورودی آنها به صورت مجموعه های فازی یا اعداد فازی خواهند بود. (شوندی، 1385).

در ادامه به طور خلاصه چند تعریف و فرمول پایه و ضروری از مجموعه های فازی ارائه می دهیم. این تعاریف و فرمول ها در طول تحقیق مورد استفاده قرار می گیرند.